CICLO LECTIVO -2020-
ACTIVIDAD N°9
FUNCIÓN CUADRÁTICA
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Se llama función cuadrática a aquella función cuyo exponente mayor de X sea 2. En general, una función cuadrática tendrá esta “pinta” cuando se la escribe en forma polinómica f(x) = ax² + bx + c (donde ‘a’ es el coeficiente principal a ≠ 0; ‘b’ es el término lineal, ‘c’ es el término independiente).
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O esta “pinta” cuando se la escribe en forma canónica f(x) = (X - Xv)² + yv o esta tercer forma, si la escribimos de manera factorizada f(x)= a (x – x1).(x - x2).
En este caso nos centraremos, en particular, en la forma polinómica de la función cuadrática donde b y c valen cero (por eso no están) y el coeficiente principal es 1.
En esta gráfica observamos los elementos más importantes de la función: (0;0) es la ordenada al origen: punto en el cual la función corta al eje Y, que coincide con el número ‘c’ (término independiente) de la forma polinómica de la función cuadrática.
En este caso, coincide con la raíz o cero de la función: que es el punto donde la función corta al eje X. En x=0.
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Además, este mismo punto (0;0), es el vértice de la función cuadrática: que es el extremo de la parábola (puede ser un máximo o un mínimo), en este caso, es un mínimo.
Ord. al Origen: (0;0)
Raiz o cero de la función: (0; 0)
Vértice: (0;0) y es un máximo.
Esta función también se puede desplazar hacia la derecha, la izquierda, hacia arriba o abajo.
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Ejemplo 1: g(x) = -x² + 4 será una parábola dada vuelta, que estará cuatro unidades más arriba que f.
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Ejemplo 2: h(x) = - (x + 2)² será una parábola desplazada hacia la izquierda, dos lugares
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Ejemplo 3: p(x) = - (X - 1)² será una parábola desplazada hacia la derecha, una unidad
Ejercicio 1: Escriba los elementos de las funciones g(x); h(x) y p(x) (FUNCIONES QUE SE GRAFICARON ARRIBA)
g(x)
Ord. al Origen:
Raiz o cero de la función:
Vértice: ……………..y es un ………………….. (Máximo o mínimo)
h(x)
Ord. al Origen:
Raiz o cero de la función:
Vértice: ………….y es un ……………..( Máximo o mínimo)
p(x)
Ord. al Origen:
Raiz o cero de la función:
Vértice: ………. y es un ………......( Máximo o mínimo)
Continuamos
¿Cómo se verá una función desplazada hacia la derecha, dos unidades y hacia arriba cuatro unidades, respecto de la función f(x) = - X²?
Ejercicio 4: Conociendo las gráficas de f (x) = X² y g(x) = –X² (están en esta misma actividad), grafique por desplazamiento las siguientes funciones:
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m(x) = (X – 4)²
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n(x) = - X² + 3
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r(x) = - (X - 1)² + 2
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t(x) = (X + 4)² – 9
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Nombre los elementos de las funciones m(x) y t(x) (Ordenada al origen, raíces o ceros de la función, vértice, decir si este último es máximo o mínimo).
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Ejercicio 5: Observe las gráficas f y p del ejercicio 3 y responda ¿las raíces de esas funciones son números enteros? (Sólo responda si o no)
No siempre las raíces serán números enteros, pero si tenemos la función de esa gráfica, sí podemos calcularlas:
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Partamos de la función cuadrática en forma polinómica f(x) = ax² + bx + c
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Para hallar las raíces o ceros de la función existe una fórmula llamada resolvente:
X1,2 = (-b+- raiz² de b²-4.a.c)/ 2.a donde X1 y X2 son las raíces
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Tomemos el ejemplo de la función f(x) = X² – 3 esta función cuadrática esta expresada en forma polinómica, donde
a = 1 b = 0 (porque no está) y c = -3
Estos valores se reemplazan en la fórmula resolvente para obtener las raíces:
Observe que son números irracionales
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Ejercicio 6: Halle las raíces, de las funciones B) y C) del ejercicio 4.
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Continuamos
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Dijimos que cuando la función cuadrática está expresada en forma canónica, tenemos como información quien es el vértice f(x) = a.(X - Xv) + Yv donde (Xv; Yv) es el punto vértice
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Ejemplo: A(x) = - (X - 2)² + 1 del ejercicio 3 su vértice es (2; 1) puede comprobarlo observando la gráfica.
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Ejemplo: C(x) = (x + 5)² – 2 del ejercicio 3 su vértice es (-5; -2) puede comprobarlo observando la gráfica.
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Pero qué sucedería si NO estuviera expresada en forma canónica la función cuadrática, ¿cómo haría para hallar su vértice?
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Si la función cuadrática está expresada en forma polinómica, existe una fórmula para hallar el Xv:
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Xv = -b/2.a , luego para hallar el Yv se reemplaza el valor de Xv en la función original
ACTIVIDAD N°8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
ACTIVIDAD N°7
RADICALES
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Observemos la siguiente situación
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Nacho cruza en diagonal la plaza de 100 m de lado. Santi sale corriendo desde el mismo lugar de su hermano, pero va por los lados dela plaza y llega al mismo tiempo que Nacho. ¿Quién de los dos recorre una distancia mayor? ¿Qué distancia recorrió Nacho cuando lo alcanzó Santi?
Observen que para poder informar la distancia que recorrió Nacho tuve que redondear el número porque tenia infinitas cifras decimal. Al redondear hay decimales que no se están teniendo en cuenta y eso nos deja un pequeño margen de error entre el número que es realmente (que nunca será exacto) y el que escribimos como respuesta, dado que lo aproximamos.
Surgen así los números Irracionales (con infinitas cifras decimales) que pueden ser expresados como raíces para evitar redondear el número cometiendo un error de aproximación. Estos se denominan RADICALES.
EXTRACCIÓN FUERA DEL RADICAL
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Al operar con radicales es necesario trabajar con los radicales con menor radicando posible. Para ello lo que se necesita es DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS EL RADICANDO, expresándolo como potencias, así luego, se podría aplicar la propiedad de simplificación de índice con exponente. Quedando el radicando extraído fuera del radical
SUMA Y RESTA DE RADICALES
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La suma y resta de radicales tiene un procedimiento similar al de suma y resta de expresiones algebraicas. Sólo se podrá sumar o restar siempre que el radical sea el mismo, entonces se sumarán o restarán los coeficientes.
Ejemplos:
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Recordá que entre el número (coeficiente) y el radical (raíz) siempre hay una multiplicación que a veces no se escribe.
Importante antes de sumar o restar siempre es conveniente EXTRAER FUERA DEL RADICAL, si fuera posible, así estaríamos trabajando con el radical más pequeño. Porque, a veces, radicales que se ven distintos luego de extraer, vemos que son los mismos.
ACTIVIDAD N°6
REVISIÓN Y CIERRE DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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Hallá los errores y corregilos
ACTIVIDAD N°5
PRODUCTOS ESPECIALES
El producto de la suma y resta: si partimos de una multiplicación entre la suma de dos expresiones por la resta de las mismas expresiones, esta se resuelve aplicando propiedad distributiva. Observen el ejemplo:
FACTOREO
Factorear es transformar una suma algebraica en una multiplicación (o producto). Existen diversos procedimientos para factorear una expresión algebraica. Sólo veremos unos pocos.
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Recordar: los elementos que se multiplican se llaman factores
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Factor Común: se utiliza cuando todos los términos tienen letras y/o números, comunes.
Por ejemplo: 6 a2 – 9 a =
Observe que ambos términos poseen la letra ‘a’ (se toma la de menor exponente) y entre los números, como ambos son múltiplos de tres, se puede sacar como factor común el número 3. Dentro del paréntesis se deja lo que resulte de dividir cada término por el factor común.
6 a2 – 9 a = 3 a (2a– 3)
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Otro ejemplo: 4b2 + 6b3 = 2b2 (2 + 3b)
Sacamos como factor común el número 2, porque 4 y 6 son divisibles por dos y entre las letras se saca la ‘b’ de menor exponente (en este caso elevada al cuadrado).
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OBSERVACIÓN: Factor común es lo inverso a propiedad distributiva: si al resultado obtenido le aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación, obtendríamos la expresión inicial.
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Ejercicio 4: Una con flechas la suma algebraica con el producto que le corresponda
3X3 + X5 4(X + 5)
2X2 – X3 X (X + 1)
4X +20 X2 (2 - X)
X2 + X X3 (3 + X2)
Ejercicio 5: saque el factor común de las siguientes expresiones
a) 20X4 – 8X12 + 28X3 – 4X5 = c) 4X3a2 – 8Xa3 =
b) 5X8 – 45X6 - 5X4 + 15X5 = d) 6a3 + 12a2 – 24a – 12a4 =
Diferencia de cuadrados
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La diferencia de cuadrados proviene del producto de la suma y resta visto más arriba. Su expresión es una resta entre dos elementos que vienen de elevar al cuadrado a alguien.
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Por Ejemplo: a2 – b2 = (a + b) (a - b)
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Observen que ‘a2‘ viene de elevar al cuadrado a la ‘a’ y ‘b2’ viene de elevar al cuadrado a ‘b’. Una vez que reconoces las bases, formas el producto entre la suma y resta de ellas.
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Otro Ejemplo: 25 – t2 = (5 + t) (5 – t)
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Observen que 25 viene de elevar al cuadrado a 5 y ‘t2’viene de elevar a cuadrado a ‘t’. Una vez reconocidas las bases, luego se forma el producto entre la suma y resta de ellas.
Ejercicio 6: Factorea las siguientes expresiones por diferencia de cuadrados
a) 16 – X2 = c) X8 – 64 =
b) 100X2 – 9 = d) b2 – 36 =
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Trinomio Cuadrado Perfecto
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Como dijimos más arriba el trinomio cuadrado perfecto es el resultado del cuadrado de un binomio, por lo cual si nos encontramos con una expresión que cumpla con esas características se lo podrá convertir en un producto especial: cuadrado de un binomio.
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Por ejemplo: X2 + 2XY + Y2 =
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Observen que el primer término y el último provienen de elevar al cuadrado a dos elementos, el primero a X y el último a Y. En el término central se encuentra el doble de la primer base por la segunda (2XY). Cuando ello se cumple, estamos frente a un Trinomio Cuadrado Perfecto. Por lo tanto se puede escribir como un binomio elevado al cuadrado.
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X2 + 2XY + Y2 = (X + Y)2
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Otro Ejemplo: 9 – 6Y + Y2 = (3 - Y)2
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Observen que 9 viene de elevar al cuadrado al 3 e ‘Y2’ viene de elevar al cuadrado a ‘Y’. En el término central tenemos -2.3.Y = -6Y. Por lo tanto, se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto. Se lo escribe como un binomio elevado al cuadrado.
Ejercicio 7: Verifique si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos y factorice, si fuera posible.
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a) X2 + X + 1 = c) 36 – 12a + a2 =
b)100 + 20X + X2 = d) X2 – 10X – 25 =
ACTIVIDAD N°4
RECORDAR :
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Si un término no posee un número delante es porque vale 1.
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Si no hay una operación expresada entre dos letras, o entre un número y una letra o entre un número y un paréntesis, es porque hay una multiplicación (que no es necesario escribirla).
Si una letra o un número no tiene expresado ningún exponente, es porque está elevado a la 1.
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Clasificación de expresiones de acuerdo a la cantidad de términos:​
¿Se pueden sumar o restar las expresiones algebraicas?​
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Solamente se pueden sumar o restar expresiones semejantes. Dos expresiones son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Y se respeta la regla de los signos de la suma algebraica.
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Recordamos regla de signos de la suma algebraica:
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Signos iguales se suman y el resultado lleva el mismo signo.
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Signos distintos se restan y el resultado lleva el signo del más grande.
Ahora bien, la siguiente pregunta sería: ¿se pueden multiplicar expresiones algebraicas?
La respuesta es Sí, se aplica propiedad distributiva para resolver una multiplicación de expresiones algebraicas, excepto que se trate de una multiplicación de monomios (ver ejemplos, debajo) y se respeta la regla de los signos de la multiplicación.
3- Completá con la mutiplicación de M.N ( podés usar calculadora para multiplicar coeficientes)
4- Completá con la división o cociente de M : N (podés usar calculadora para dividir coeficientes)
5) Expresá de la manera más simplificada (corta) la expresión. Recordá que la línea de fracción es división.
6) Completá
7) Separá en términos y resolvé
8) Ahora te proponemos unos desafíos…
ACTIVIDAD N°3
Prestá atención:
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LOS VIDEOS QUE TE BRINDAMOS SON COMO LAS EXPLICACIONES QUE LAS PROFESORAS HACEN EN EL AULA, ESTÁN CONFECCIONADOS POR ELLAS PARA QUE PUEDAS RETOMAR TEMAS QUE HAS VISTO, en años anteriores O APRENDER ALGO NUEVO. SENTATE TRANQUILO Y PRESTÁ MUCHA ATENCIÓN.
Estos tres enlaces (links) de YOUTUBE, miralos en el orden indicado. En ellos te explicará cómo resolver un SISTEMA DE ECUACIONES POR MÉTODO DE IGUALACIÓN (método a elección)
Para comprobar resultados, necesitás aplicar MÉTODO GRÁFICO, observá los siguientes videos, se dividó el tema en 3 pasos:
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1. Explicación para explicitar la ECUACIÓN
https://drive.google.com/open?id=15MWexrIkYb3lMD9-4N6fvebWqrxabOra
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2. Construcción de TABLA DE VALORES
https://drive.google.com/open?id=1Asmbqti0a_vpYXO28UsSBUMROD7XUHoZ
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3. Construcción GRÁFICA en papel
https://drive.google.com/open?id=1o2qTzMRb5AVLUepiaXu8sUE1Kmy6rSXR
ACTIVIDAD N°2
PLANTEAR (pasanso de lenguaje coloquial a simbólico) LA ECUACIÓN Y LUEGO RESOLVER
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La suma de un número y el doble de su anterior es igual a 24 ¿Cuál es el número?
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El doble de un número más el triple del mismo número aumentado en 25 es igual a cero ¿Cuál es el número?
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El perímetro del rectángulo dibujado es igual a 134 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
< >Tres amigos hacen un viaje en automóvil y cada uno maneja durante una parte del trayecto. Uno de ellos maneja durante el primer quinto del recorrido, el siguiente en tomar el volante maneja durante un tercio del resto del camino, y el tercero 720 km. ¿Qué distancia recorrieron en total?Mirá este video te ayudará a recordar pasaje de lenguaje coloquial a simbólico para plantear https://www.youtube.com/watch?v=OOtSG8Dxv5M
Mirá este video que te recordará como resolver las ecuaciones
https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8
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CONSULTAS
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Profesores referentes:
3°A y 3°C Prof Mara Beighau
3°B Prof María Herrera
Consultala por el Face de la escuela
3°D Prof. Alejandra Olivera
ACTIVIDAD N°1
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Plantea y resuelve: En un edificio se recaudaron$250.000 de expensas. Ese dinero se utilizará de la siguiente forma:
La octava parte para pagar impuestos; la mitad para pagar el sueldo de los distintos encargados y la tercera parte para mantenimiento. ¿Cuánto dinero se utilizará y cuánto queda?